Процесс деформирования материалов Колебания системы с одной степенью свободы Геометрические уравнения и уравнения неразрывности

Сопромат Теории прочности Основы теории упругости и пластичности

Гаспар Монж (1746-1818). В 1798 г. опубликовал свой труд "Geometrie descriptive" ("Начертательная геометрия"), в котором разработал общую геометрическую теорию, дающую возможность на плоском листе изображать пространственные объекты и решать различные геометрические задачи с помощью этих изображений. Г. Монж первый перешёл от изучения геометрии на плоскости к глубокому исследованию геометрии в пространстве.

Пример расчета (задача № 21)

 Для трехстержневой системы (рис.10.10,а) при условии, что диаграмма растяжения для стержней имеет участок упрочнения (рис.10.10,б), при следующих исходных данных: a=30°; l=1,0м; F=210-4м2-площади поперечных сечений стержней; E=2108 кН/м2-модуль упругости материалов стержней; sT= =2,5105 кН/м2-предел упругости материала; sB=3,9105 кН/м2 - временное сопротивление; eB=0,02 -значение деформации, соответствующее напряжению sB, требуется:

 1.Определить абсолютные и относительные удлинения стержней и значение силы P=P1, при котором в наиболее напряженном стержне напряжения достигают предела упругости;

 2.Определить абсолютные и относительные удлинения стержней и значение силы P=P2, при котором все элементы заданной системы переходят в пластическую стадию деформирования;

 3.Определить абсолютные и относительные удлинения стержней и значение силы P=P3, при котором в наиболее напряженном стержне напряжения достигают значения, равного временному сопротивлению sB, т.е. при дальнейшем увеличении силы P происходит разрушение заданной системы;

 4.Рассматривая систему (рис.10.10,а) при отсуствии среднего стержня в процессе ее нагружения, определить абсолютные и относительные удлинения элементов системы, и внешней силы P=P4, при котором в ее элементах напряжения достигают значения, равного временному сопротивлению sB.

Рис.10.10

Решение

 1.Определить абсолютные и относительные удлинения стержней и значение силы P=P1, при котором в наиболее напряженном стержне напряжения достигают предела упругости. Заданная система (рис.10.10,а) один раз статически неопределима. Применяя метод сечений (рис.10.10,б) и составляя уравнения равновесия статики, последовательно можем определить:

или

. (10.38)

 Согласно деформированной схеме, изображенной на рис.10.10,а, из геометрических соображений, уравнения для определения относительных деформаций записываются в виде:

. (10.39)

 С учетом , и принимая во внимание, что на первом этапе нагружения все элементы заданной системы деформируются согласно закону Гука, т.е.  , получим:

. (10.40)

 С учетом (10.40) из (10.38) и (10.39) можно получить следующую замкнутую систему уравнений относительно усилий N1 и N2:

 Откуда определяются:

. (10.41)

 Для выражения напряжения в среднем в элементах заданной системы имеем:

 (10.42)

 Откуда следует, что s(2)>s(1). Следовательно, в процессе нагружения сначала средний стержень переходит в пластическую стадию деформирования, а затем боковые стержни, т.е. при всех нагружения средний стержень, вплоть до стадии разрушения заданной системы, будет наиболее напряженным.

 Принимая в (10.42), что s(2)=sT и P=P1, окончательно получим:

кН.

 Абсолютные удлинения стержней принимают значения:

 Относительные удлинения стержней принимают значения:

Я.А.Севастьянов (1796-1849). Издал в 1821 г. первый русский учебник по начертательной геометрии: "Основания начертательной геометрии". Предложенная Севастьяновы терминология в целом используется и поныне. Севастьянов Я. А. - первый русский профессор по начертательной геометрии.
Геометрические уравнения и уравнения неразрывности сопромат