Процесс деформирования материалов Колебания системы с одной степенью свободы Геометрические уравнения и уравнения неразрывности

Сопромат Теории прочности Основы теории упругости и пластичности

Гаспар Монж (1746-1818). В 1798 г. опубликовал свой труд "Geometrie descriptive" ("Начертательная геометрия"), в котором разработал общую геометрическую теорию, дающую возможность на плоском листе изображать пространственные объекты и решать различные геометрические задачи с помощью этих изображений. Г. Монж первый перешёл от изучения геометрии на плоскости к глубокому исследованию геометрии в пространстве.

Отрезок нормали к срединной поверхности при изгибе остается прямым и перпендикулярным к срединной поверхности. Это допущение носит название гипотезы прямых нормалей.

 2.Величины sz и ez пренебрежимо малы и в расчете не учитываются.

 Поскольку, мы предположили, что ez=0, то

ez=,

следовательно, прогиб пластины w не зависит от координаты z, то есть w=w(x, y).

 Пользуясь сделанными предположениями, выразим перемещение точек пластины вдоль осей x и y, соответственно, u и v через их прогиб w.

 Согласно рис.11.3. можно записать:

. (11.4)

Рис.11.3

 Нормаль к срединной поверхности пластинки (C-C) согласно гипотезе прямых нормалей и в деформируемом состоянии пластинки   остается перпендикулярной к искривленной поверхности. Аналогичным образом получим:

. (11.5)

 Закон Гука в данном случае преобразуется к виду:

 (11.6)

 Выражения для изгибающих моментов с учетом (11.6) принимают вид:

 (11.7)

где  - цилиндрическая жесткость пластины.

 Пользуясь соотношениями (11.2) и (11.7), выражения для поперечных сил можно записать следующим образом:

 (11.8)

где -оператор Лапласа.

 Согласно (11.7) величины моментов определяются через один искомый параметр-прогиб пластины w(x,y). Следовательно, подставляя выражение (11.7) в (11.3), окончательно получим

. (11.9)

 Выражение (11.9)-известное дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластины, полученное Софи Жермен и опубликованное Лагранжом в 1811 году.

Я.А.Севастьянов (1796-1849). Издал в 1821 г. первый русский учебник по начертательной геометрии: "Основания начертательной геометрии". Предложенная Севастьяновы терминология в целом используется и поныне. Севастьянов Я. А. - первый русский профессор по начертательной геометрии.
Геометрические уравнения и уравнения неразрывности сопромат