Пределы функции на бесконечности Первый замечательный предел Непрерывность функции в точке Основные правила дифференцирования Производные и дифференциалы высших порядков Предел функции

Курс высшей математики решение задач

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАИВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 23. Определение функции нескольких независимых переменных. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. 24. Частные производные функции нескольких независимых переменных, их геометрический смысл (для случая двух независимых переменных). Частные производные высших порядков. 25. Полный дифференциал функции нескольких независимых переменных; его применение в приближенных вычислениях.

Производные некоторых элементарных функций

Пусть функция y = f (x) определена на некотором промежутке X, x0X и f(x) дифференцируема в точке x0, т.е. производная  существует.

Для одной и той же функции f(x) производную можно вычислять в различных точках x, и ее значения будут зависеть от x, т.е. производная (x) будет функцией от x, ее называют производной функцией от функции f(x). Нахождение производной функции называют дифференцированием функции f(x).

Итак, производная функция от функции f(x) по определению:

Для того чтобы научиться дифференцировать функции, надо знать производные основных элементарных функций и правила дифференцирования. Выведем производные некоторых элементарных функций.

f(x) = с – постоянное число.

Итак, (c)' = 0.

f(x) = x:

Получили: (x)' = 1.


:

.

Таким образом, .

:

.

f(x) = sinx:

Значит, (sinx)' = cosx

Аналогично доказывается, что (cosx)' = –sinx.

Для дальнейшего изложения вычислим два вспомогательных предела, а именно:

,

используя для этого второй замечательный предел и непрерывность функций logax и ax.

Первый предел:

Таким образом, .

Для вычисления второго предела введем новую переменную: z = ay – 1, тогда
ay = z + 1, откуда y = loga(z + 1). Если y  0, то z  0, следовательно,

, т.е. .

7. :

.

Значит,  В частности, .

8. Убедимся, что (ax)' = axlna:

При a = e, получаем: (ex)' = ex.

Производные для других элементарных функций мы вычислим в следующих разделах.

Метод подведения под знак дифференциала

Пусть требуется вычислить   Предположим, что существуют дифференцируемые функции   и , такие, что тогда

Указанное преобразование подынтегрального выражения называют подведением под знак дифференциала.

Например. .

Замечание. При интегрировании методом подведения под знак дифференциала бывают полезны следующие равенства:


Решение типовых задач по математике