Пределы функции на бесконечности Первый замечательный предел Непрерывность функции в точке Основные правила дифференцирования Производные и дифференциалы высших порядков Предел функции

Курс высшей математики решение задач

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Понятие об интегрируемой функции, формулировка теоремы существования. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем. Производная от определенного интеграла по верхнему пределу. Связь между определенным и неопределенным интегралом (формула Ньютона - Лейбница).

Типовой расчёт № 3

Ряды.

Образец выполнения типового расчёта № 3.

Задание 1. Составить формулу общего члена числового ряда: .

Решение. Во-первых, данный ряд является знакочередующимся, причём первый множитель является отрицательным. Поэтому формула общего члена ряда должна содержать множитель . Во-вторых, все члены ряда представляют собой дроби со знаменателем, равным единице. В-третьих, знаменатели каждой дроби являются квадратами последовательных натуральных чётных чисел:  и так далее. Таким образом, получим формулу: .

Задание 2. Найти 8-й член числового ряда .

Решение. .

Задание 3. Найти частичную сумму  числового ряда .

Решение: .

Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:

4.1. .

Решение. Проверим сначала для данного ряда выполнения необходимого условия сходимости: . Предел общего члена ряда не равен нулю, следовательно, данный ряд является расходящимся.

4.2. .

Решение. Данный ряд относится к типу обобщённых гармонических рядов , причём , значит, ряд расходится.

4.3. .

Решение. Используем признак Даламбера. Найдём . Здесь . Получим: . Согласно признаку Даламбера, данный ряд расходится.

4.4. .

Решение. Применим радикальный признак Коши. Найдём . Получим:

. Согласно признаку Коши, данный ряд сходится.

4.5. .

Решение. Проверим сначала для данного ряда выполнения необходимого условия сходимости: . Числитель данной дроби стремится к бесконечности, а знаменатель – ограниченная величина, принимающая, в зависимости от  значения различных знаков. Предел общего члена ряда, таким образом, не определён (и, естественно, не равен нулю), следовательно, данный ряд является расходящимся.

 Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:

5.1. .

Решение. Запишем последовательность абсолютных величин членов данного ряда. Получим: . Члены ряда убывают по абсолютной величине. Теперь найдём предел общего члена ряда, составленного из абсолютных величин. Получим:   - как предел обобщённого гармонического ряда при . Таким образом, выполняются оба условия признака Лейбница, и данный ряд является сходящимся. Поскольку выше мы установили сходимость ряда, составленного из абсолютных величин, то данный ряд сходится абсолютно.

5.2. .

Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

. Он будет сходящимся, так как члены его составляют геометрическую прогрессию, знаменатель которой по модулю меньше единицы. Следовательно, данный ряд сходится, и сходится абсолютно.

 Задание 6. Найти радиус, интервал и область сходимости ряда:

Решение. Запишем коэффициент данного ряда: . Найдём радиус сходимости данного ряда: . Интервал сходимости данного ряда будет . Проверим поведение ряда в конечных точках данного интервала.

Пусть . Получим ряд . Проверим его сходимость по признаку Даламбера. . Ряд расходится, следовательно, точка  не принадлежит области сходимости.

Пусть  . Получим ряд . Получили знакочередующийся ряд, расходимость которого легко устанавливается с помощью признака Лейбница (не выполняется первое условие). То есть, точка  также не входит в область сходимости. Итак, область сходимости данного ряда - .

Метод интегрирования по частям

Если функции дифференцируемы, то справедлива следующая формула:

.  (7.1)

Эта формула используется в тех случаях, когда выражение   можно представить в виде   так, что стоящий в правой части формулы (7.1) интеграл оказывается проще исходного.

Формула (7.1) может применяться неоднократно.

Пример 16.

=

=  

 


Решение типовых задач по математике