Поляризация света http://rus-kon.ru/
Пределы функции на бесконечности Первый замечательный предел Непрерывность функции в точке Основные правила дифференцирования Производные и дифференциалы высших порядков Предел функции

Курс высшей математики решение задач

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Понятие об интегрируемой функции, формулировка теоремы существования. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем. Производная от определенного интеграла по верхнему пределу. Связь между определенным и неопределенным интегралом (формула Ньютона - Лейбница).

Типовой расчёт № 4

Интегрирование.

Образец решения типового расчёта № 4.

 Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1. .

Решение. Применим способ внесения выражения под знак дифференциала: .

1.2. .

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:

.

  1.3.

Сведём данный интеграл к табличному:

.

1.4. ;

Решение. Применяем способ подстановки:

.

.5. .

Решение. Применяем способ подстановки:

.

1.6. .

Решение. Введём подстановку . Получим:

.

1.7. .

Решение. Применим формулу интегрирования по частям: . В данном случае: . Подставляя эти выражения в формулу, получим:

.

 1.8. .

Решение. Введем подстановку , откуда . Тогда . Находим полученный табличный интеграл и возвращаемся к прежней переменной:

.

1.9. ;

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:

. Введём подстановку , тогда   и получим:  =.

1.10. .

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:

  Введём подстановку , тогда . Получим:

.

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2.1. .

Решение. .

 2.2. .

Решение.

.

  2.3. .

Решение. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:

.

Решение. Точка  является особой точкой, поскольку подынтегральная функция имеет в ней бесконечный разрыв. Поэтому:

  - получили бесконечный предел.

Таким образом, данный интеграл расходится.

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Решение. Площадь данной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, образованных прямой  и гиперболой  на отрезке .

.

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

.

Решение. Используем формулу для нахождения объёма тел вращения: .

.

Метод интегрирования по частям

Если функции дифференцируемы, то справедлива следующая формула:

.  (7.1)

Эта формула используется в тех случаях, когда выражение   можно представить в виде   так, что стоящий в правой части формулы (7.1) интеграл оказывается проще исходного.

Формула (7.1) может применяться неоднократно.

Пример 16.

=

=  

 


Решение типовых задач по математике