Производная и дифференциал функции двух переменных.
Исследование функции двух переменных.
Образец решения типового расчёта № 5.
Задание
1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных:
.
Решение. Очевидно, аналитическое выражение, задающее
данную функцию, имеет смысл тогда и только тогда, когда знаменатель дроби не равен
нулю: 
. Уравнение 
задаёт на координатной плоскости 
параболу 
, вершина которой находится в точке
, ветви направлены влево, а осью
симметрии является ось абсцисс. Таким образом, областью определения данной функции
являются все точки координатной плоскости, кроме тех, что лежат на параболе .
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. 
.
Решение.
.
2.2. 
.
Решение.
.
2.3. 
.
Решение.
.
Задание 3. Найти все частные производные второго
порядка функции двух переменных: 
.
Решение. Сначала найдём частные производные первого порядка:
.
Теперь
находим производные второго порядка по переменным 
и 
:
.
Находим смешанные производные:
.
Задание
4. Найти производную функции 
в точке 
по направлению вектора 
.
Решение. Производная функции 
по направлению вектора 
равна:
,
где 
направляющие косинусы вектора
.
Находим частные производные данной функции:
.
Находим
значения частных производных в точке :
.
Находим
направляющие косинусы вектора :
.
Окончательно получим:
.
Типовой расчёт № 2 Дифференцирование функции одной переменной. Исследование функций с помощью производной
Образец
выполнения типового расчёта № 3. Задание 1. Составить формулу общего члена
числового ряда: 
.
Интегрирование.
Образец решения типового расчёта № 4. Задание 1. Найти неопределённые интегралы:
.
Задачи приводящие к понятию определенного интеграла. Понятие определенного интеграла, вычисление интеграла по определению. Необходимый признак интегрируемости
дифференцируемы,
то справедлива следующая формула:
.
=
