Производная и дифференциал функции двух переменных.
Исследование функции двух переменных.
Образец решения типового расчёта № 5.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных:
.
Решение. Очевидно, аналитическое выражение, задающее данную функцию, имеет смысл тогда и только тогда, когда знаменатель дроби не равен нулю:
. Уравнение
задаёт на координатной плоскости
параболу
, вершина которой находится в точке
, ветви направлены влево, а осью симметрии является ось абсцисс. Таким образом, областью определения данной функции являются все точки координатной плоскости, кроме тех, что лежат на параболе
.
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1.
.
Решение.
.
2.2.
.
Решение.
.
2.3.
.
Решение.
.
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных:
.
Решение. Сначала найдём частные производные первого порядка:
.
Теперь находим производные второго порядка по переменным
и
:
.
Находим смешанные производные:
.
Задание 4. Найти производную функции
в точке
по направлению вектора
.
Решение. Производная функции
по направлению вектора
равна:
, где
направляющие косинусы вектора
.
Находим частные производные данной функции:
.
Находим значения частных производных в точке
:
.
Находим направляющие косинусы вектора
:
.
Окончательно получим:
.
Типовой расчёт № 2 Дифференцирование функции одной переменной. Исследование функций с помощью производной
Образец выполнения типового расчёта № 3. Задание 1. Составить формулу общего члена числового ряда:
.
Интегрирование. Образец решения типового расчёта № 4. Задание 1. Найти неопределённые интегралы:
.
Задачи приводящие к понятию определенного интеграла. Понятие определенного интеграла, вычисление интеграла по определению. Необходимый признак интегрируемости
Метод интегрирования по частям
Если функции дифференцируемы,
то справедлива следующая формула:
.
(7.1)
Эта формула используется в тех случаях, когда выражение
можно представить в виде
так, что стоящий в правой части формулы (7.1) интеграл оказывается проще
исходного.
Формула (7.1) может применяться неоднократно.
Пример 16.
=
=
Решение типовых задач по математике |