Пределы функции на бесконечности Первый замечательный предел Непрерывность функции в точке Основные правила дифференцирования Производные и дифференциалы высших порядков Предел функции

Курс высшей математики решение задач

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Вероятность события. Относительная частота события. Полная группа событий. Статистическое и классическое определение вероятности. Сумма событий. Теорема о вероятности суммы несовместных событий. Теорема вероятности суммы двух совместных событий. 55. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем (без док.) Геометрический смысл. Среднее значение функции.

Основные свойства определенного интеграла.

,где c-const,

Определенный интеграл от функций:

Адитивность определенного интеррала

Если   , то  

Монотонность определенного интеграла . если , то

Ограниченность.

Оценка определенного интеграла. Пусть f(х) интегрируема на [a,b], a<b,  

Теорема о среднем: Если f(х) непрерывна на [a,b], то существует точка , такая что , где -среднее значение.

3. Классы интегрируемых функций (три теоремы без док.)

Классы интегрируемых функций.

Теорема №1

Если   определена на [a,в] и непрерывна, то   интегрируема [a,в].

Теорема №2

Если функция  монотонна и ограничена на [a,в], то  интегрируема на [a,в].

Теорема №3

Если ограниченная функция  на [a,в] имеет конечное число точек разрыва, то   интегрируема на [a,в].

4. Теорема об определенном интеграле с переменным верхним пределом (доказать)

Теорема(Борроу): определенный интервал с переменным верхним пределом интегрирования от непрерывной функции f(x) на  является первообразной для интегрируемой функции, т.е.  

Док-во: дадим аргументу х приращение ,

тогда   =>/ По Теореме о среднем / ;

то т.д.

ГЕОМ.ИЛЛЮСТРАЦИЯ ТЕОРЕМЫ:

 

Приращение = = S криволинейной

трапеции с осями , а производная =f(х)= длине отрезка х Х.

СЛЕДСТВИЕ: всякая непрерывная функция имеет первообразную.

При интегрировании по частям к множителю '' '' следует относить множители, которые упрощаются при дифференцировании.

Так, в интегралах вида

, где   многочлен, за '' '' следует взять '' '', оставшееся выражение за '' '' (см. пример 17).

В интегралах вида

  за '' '' следует взять выражение '' '', оставшуюся функцию взять за '' ''

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называют функцию вида , где   – многочлены.

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена ниже степени многочлена , в противном случае дробь   – неправильная.

Например, дроби    – правильные, а дроби  – неправильные.


Решение типовых задач по математике