Пределы функции на бесконечности Первый замечательный предел Непрерывность функции в точке Основные правила дифференцирования Производные и дифференциалы высших порядков Предел функции

Курс высшей математики решение задач

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Вероятность события. Относительная частота события. Полная группа событий. Статистическое и классическое определение вероятности. Сумма событий. Теорема о вероятности суммы несовместных событий. Теорема вероятности суммы двух совместных событий. 55. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Признаки сходимости. Первый признак  сравнения(теорему доказать). Второй (предельный) признак сравнения(без док.)

Признаки сходимости:

Если функция f(x)>=0 на [a, +∞),то для сходимости несобственного интеграла  необходимо и достаточно, чтобы , a<=η<+∞ было ограниченно т.о. существует A>0 |  η [a, +∞)<=A

Первый признак сравнения:

Теорема1:

Путь заданы две функции f(x) и g(x), неотрицательные на [a,+∞) и 0<=f(x)<=g(x)  x[a,+∞).

Тогда 1) если  –сходится, то  тоже сходится.

 2)если  - расходится, то  - расходится.

Доказательство:

1)  [a,+∞) т.к. 0<=f(x)<=g(x) имеем интеграл <=,

Если - сходится, то по Лемме -ограничена.  -ограниченные по Лемме.

  - сходится

2) Если  расходится, то по п.1) интеграл не может сходится - расходится.

Теорема2:Предельный признак сравнения.

Пусть f(x) и g(x) неотрицательная на [a,+), y(x) x [a,+) и пусть существует конечный предел отношения , в этом случае  и  сходятся и расходятся одновременно. Ряд g(x) называется функцией сравнения.

Понятие несобственного интеграла

Пусть f(x) определена на [a,b) и неограниченна в левосторонней окрестности точки (в точке разрыва 2 рода). Т.е. .

Будем считать, что f(x) интегрируема на [a,b-], >0: I=I()= зависщий от переменного верхнего предела.

Df: Несобственный интеграл от функции f(x), непрерывный на промежутке [a,b) и имеющий разрыв 2 рода в т или несобственный интеграл 2 рода называется предел интеграла I():

,

Аналогично звучит df если f(x) имеет ∞ в точке а.

12. Признаки сравнения (без док.)

Терема3:

Пусть в левой(правой) окрестности точки b (точки а) определены неотрицательные функции f(x) и g(x), причем 0<=f(x)<=g(x).

Тогда 1) из сходимости н.и. 2 рода - сходится

 2)из расходимости н.и. расходится

Теорема4:(Предельный признак сравнения)

Пусть f(x) и g(x) неотрицательные, и g(x)0 на промежутке [a,b), а в точке b функция терпит разрыв 2 рода, и если существует , то

если   сходится, 0<=k<=+∞, то   - сходится.

Если  расходится, 0<=k<=+∞, то  - расходится

При интегрировании по частям к множителю '' '' следует относить множители, которые упрощаются при дифференцировании.

Так, в интегралах вида

, где   многочлен, за '' '' следует взять '' '', оставшееся выражение за '' '' (см. пример 17).

В интегралах вида

  за '' '' следует взять выражение '' '', оставшуюся функцию взять за '' ''

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называют функцию вида , где   – многочлены.

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена ниже степени многочлена , в противном случае дробь   – неправильная.

Например, дроби    – правильные, а дроби  – неправильные.


Решение типовых задач по математике