Курс высшей математики решение задач Признаки сходимости

Признаки сходимости. Первый признак сравнения(теорему доказать). Второй (предельный) признак сравнения(без док.)

Признаки сходимости:

Если функция f(x)>=0 на [a, +∞),то для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы , a<=η<+∞ было ограниченно т.о. существует A>0 | η [a, +∞)<=A

Первый признак сравнения:

Теорема1:

Путь заданы две функции f(x) и g(x), неотрицательные на [a,+∞) и 0<=f(x)<=g(x) x[a,+∞).

Тогда 1) если –сходится, то тоже сходится.

2)если - расходится, то - расходится.

Доказательство:

1) [a,+∞) т.к. 0<=f(x)<=g(x) имеем интеграл <=,

Если - сходится, то по Лемме -ограничена. -ограниченные по Лемме.

- сходится

2) Если расходится, то по п.1) интеграл не может сходится - расходится.

Теорема2:Предельный признак сравнения.

Пусть f(x) и g(x) неотрицательная на [a,+), y(x) x [a,+) и пусть существует конечный предел отношения , в этом случае и сходятся и расходятся одновременно. Ряд g(x) называется функцией сравнения.

Понятие несобственного интеграла

Пусть f(x) определена на [a,b) и неограниченна в левосторонней окрестности точки (в точке разрыва 2 рода). Т.е. .

Будем считать, что f(x) интегрируема на [a,b-], >0: I=I()= зависщий от переменного верхнего предела.

Df: Несобственный интеграл от функции f(x), непрерывный на промежутке [a,b) и имеющий разрыв 2 рода в т или несобственный интеграл 2 рода называется предел интеграла I():

Аналогично звучит df если f(x) имеет ∞ в точке а.

12. Признаки сравнения (без док.)

Терема3:

Пусть в левой(правой) окрестности точки b (точки а) определены неотрицательные функции f(x) и g(x), причем 0<=f(x)<=g(x).

Тогда 1) из сходимости н.и. 2 рода - сходится

2)из расходимости н.и. расходится

Теорема4:(Предельный признак сравнения)

Пусть f(x) и g(x) неотрицательные, и g(x)0 на промежутке [a,b), а в точке b функция терпит разрыв 2 рода, и если существует , то

если сходится, 0<=k<=+∞, то - сходится.

Если расходится, 0<=k<=+∞, то - расходится