Признаки сходимости. Первый признак сравнения(теорему доказать). Второй (предельный) признак сравнения(без док.)
Признаки сходимости:
Если функция f(x)>=0 на [a, +∞),то для сходимости несобственного интеграла
необходимо и достаточно, чтобы
, a<=η<+∞ было ограниченно т.о. существует A>0 |
η
[a, +∞)
<=A
Первый признак сравнения:
Теорема1:
Путь заданы две функции f(x) и g(x), неотрицательные на [a,+∞) и 0<=f(x)<=g(x)
x
[a,+∞).
Тогда 1) если
–сходится, то
тоже сходится.
2)если
- расходится, то
- расходится.
Доказательство:
1)
![]()
[a,+∞) т.к. 0<=f(x)<=g(x) имеем интеграл
<=
,
Если
- сходится, то по Лемме
-ограничена.
![]()
-ограниченные по Лемме.
- сходится
2) Если
расходится, то по п.1) интеграл
не может сходится
- расходится.
Теорема2:Предельный признак сравнения.
Пусть f(x) и g(x) неотрицательная на [a,+
Понятие несобственного интеграла), y(x)
x
[a,+
) и пусть существует конечный предел отношения
, в этом случае
и
сходятся и расходятся одновременно. Ряд g(x) называется функцией сравнения.
Пусть f(x) определена на [a,b) и неограниченна в левосторонней окрестности точки (в точке разрыва 2 рода). Т.е.
.
Будем считать, что f(x) интегрируема на [a,b-
],
>0: I=I(
)=
зависщий от переменного верхнего предела.
Df: Несобственный интеграл от функции f(x), непрерывный на промежутке [a,b) и имеющий разрыв 2 рода в т
или несобственный интеграл 2 рода называется предел интеграла I(
):
,
Аналогично звучит df если f(x) имеет ∞ в точке а.
12. Признаки сравнения (без док.)
Терема3:
Пусть в левой(правой) окрестности точки b (точки а) определены неотрицательные функции f(x) и g(x), причем 0<=f(x)<=g(x).
Тогда 1) из сходимости н.и. 2 рода
- сходится
2)из расходимости н.и.
расходится
Теорема4:(Предельный признак сравнения)
Пусть f(x) и g(x) неотрицательные, и g(x)
0 на промежутке [a,b), а в точке b функция терпит
разрыв 2 рода, и если существует
, то
если
сходится, 0<=k<=+∞, то
- сходится.
Если
расходится, 0<=k<=+∞, то
- расходится
При интегрировании по
частям к множителю '' '' следует относить
множители, которые упрощаются при дифференцировании.
Так, в интегралах вида
, где
– многочлен, за ''
'' следует взять
''
'', оставшееся
выражение за ''
'' (см.
пример 17).
В интегралах вида
за ''
'' следует взять
выражение ''
'', оставшуюся
функцию взять за ''
''
Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называют функцию вида , где
– многочлены.
Рациональная дробь называется правильной, если степень
многочлена ниже степени многочлена
, в противном
случае дробь
– неправильная.
Например, дроби
– правильные,
а дроби
– неправильные.
Решение типовых задач по математике |