Пределы функции на бесконечности Первый замечательный предел Непрерывность функции в точке Основные правила дифференцирования Производные и дифференциалы высших порядков Предел функции

Курс высшей математики решение задач

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Вероятность события. Относительная частота события. Полная группа событий. Статистическое и классическое определение вероятности. Сумма событий. Теорема о вероятности суммы несовместных событий. Теорема вероятности суммы двух совместных событий. 55. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Теорема об абсолютной сходимости несобственного интеграла (доказать)

Теорема: Если несобственный интеграл абсолютно сходится, то он и сходится.

Доказательство:

Пусть несобственный интеграл  сходится.

Рассмотрим = {f(x), если f(x)>=0

 {0, если f(x)<0

  = {0, если f(x)>0

 {f(x), если f(x)<=0

  f(x)= =

14. Основные топологические понятия: замкнутая и открытая область, расстояние между точками, связная и несвязная область и т.д.(×)

Определение: Множество всех упорядоченных наборов (x1,x2,…,xn) действительных чисел x1,x2,…,xn – называется n-мерным арифметическим точечным пространством и обозначается R. А его элементы называются точками пространства R.

Числа x1,x2,…,xn – называются координатами токи (x1,x2,…,xn). Обозначают прописными буквами латинского алфавита M(x1,x2,…,xn)

Расстоянием ρ(M’,M’’) между двумя точками M’(x1,x2,…,xn) и M’’(x1’,x2’,…,xn’) n- мерного пространства называется число:

Геометрическое место точек P, координаты которого удовлетворяют z=f(x,y) называется графиком функции 2-х переменных.

ε - окрестность т.  называется множество точек, отстоящих от точки M0 на расстояние меньше чем ε  

Проколотая окрестность. ε -окрестность т. M0.

Точка  называется внутренней точкой множества , если она принадлежит множеству D вместе с некоторой своей окрестностью.

Точка называется граничной точкой множества D, если в любой её окрестности найдутся точки принадлежащие D, и не принадлежащие D.

Совокупность всех граничных точек называется границей множества D.

Точка  называется внешней точкой множества , если E существует окрестность т. M0 в которой нет точек множества D.

Множество D точек пространства  называется открытым, если все его точки – внутренние.

Точка  называется предельной точкой множества D, если существует последовательность т.  такая, что   (Mn сходится к т. M0)

Множество D называется замкнутым, если оно содержит все граничные точки.

Множество D называется связным, если любые две точки M и B можно соединить ломаной, целиком лежащей в этом множестве.

Открытое связное множество называется областью

Множество D – называется ограниченным, если все его точки содержатся в некотором n-мерном шаре, т. е.

При интегрировании по частям к множителю '' '' следует относить множители, которые упрощаются при дифференцировании.

Так, в интегралах вида

, где   многочлен, за '' '' следует взять '' '', оставшееся выражение за '' '' (см. пример 17).

В интегралах вида

  за '' '' следует взять выражение '' '', оставшуюся функцию взять за '' ''

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называют функцию вида , где   – многочлены.

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена ниже степени многочлена , в противном случае дробь   – неправильная.

Например, дроби    – правильные, а дроби  – неправильные.


Решение типовых задач по математике