Интегралы, зависящие от параметра http://predto.ru/
Пределы функции на бесконечности Первый замечательный предел Непрерывность функции в точке Основные правила дифференцирования Производные и дифференциалы высших порядков Предел функции

Курс высшей математики решение задач

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Введение в математический анализ 11. Постоянные и переменные величины. Определение функции. Область определения функции; способы ее задания. Графическое изображение функции. Основные сведения из классификации функций. 12. Числовые последовательности, их сходимость. Предел числовой последовательности. Теорема о существовании предела монотонной ограниченной последовательности (формулировка).

Предел функции в точке

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 (возможно, определена на R), но в самой точке x0 функция f(x) может быть и не определена.

Дадим сначала описательное определение предела функции в точке и приведем пример.

Число b называется пределом функции f(x) в точке  x0 (x  x0), если значения f(x) приближаются к числу b как угодно близко при условии, что значения аргумента x подходят к x0 достаточно близко. Обозначение: f(x) = b.

Пример 1. Функция y =  определена во всех точках числовой оси, за исключением x0 = 2. Найдем f(x), для этого вычислим значения f(x) для x, близких к 2, и построим график: y = f(x). Заметим, что для x  2:   = 2x.

x

1,6

1,7

1,8

1,9

2,1

2,2

2,3

2,4

y

3,2

3,4

3,6

3,8

4,2

4,4

4,6

4,8

График функции: y =  совпадает с прямой: y = 2x для всех x  2
(рис. 1.6). Из таблицы и графика видим, что значения f(x) тем меньше отличаются от числа 4, чем ближе значения аргумента x подходят к 2.

Покажем, что  = 4. Для этого убедимся, что | f(x) – 4 | может стать настолько малым, насколько пожелаем: |f(x) – 4| = | – 4 | = | 2x – 4 |, так как x  2.

Потребуем, чтобы |f(x) – 4| <, тогда из неравенства: |2x – 4| <   получаем |x – 2| <. Т.е. при значениях x, удовлетворяющих неравенству: 2 – < x < 2 + , выполняется неравенство |f(x) – 4| <.

Аналогично можно показать, что |f(x) – 4| < , если 2 –  < x < 2 +   и, вообще, для любого (малого) положительного числа  |f(x) – 4| < , если 2 –  < x < 2 +  (или, что то же самое, | x – 2 | < ). Обозначим  = . Итак,  = 4.

Дадим строгое определение предела функции в точке.

Число b называется пределом функции f(x) в точке x0 (при стремлении x к x0), если для любого положительного числа  найдется положительное число , такое, что для любого x  x0 и удовлетворяющему неравенству: x0 –  < x < x0 + , выполняется неравенство: | f(x) – b| < .

Символически f(x) = b означает:

 > 0  > 0 x  x0 (x0 –  < x < x0 +   | f(x) – b | < ). (*)

Заметим, что условие:

«x  x0 и x0 –  < x < x0 + »

можно записать в виде неравенства: 0 < | x – x0 | <  , и тогда формула (*) примет вид:

 > 0  > 0 x (0 < | x – x0 | <   | f(x) – b | < ).

Если f(x) = b, то на графике функции y = f(x) (рис. 1.7) это иллюстрируется (по определению предела) так: для всех точек x, отстоящих от x0 не далее, чем на  значения f(x) отличаются от b не более чем на .

Пример 2. Показать, что x = x0.

В самом деле f(x) = x, поэтому для любого   > 0: | f(x) – x0 | <  при условии | x – x0 | <   (здесь  = ).

Левосторонний и правосторонний пределы функции в точке

Переходим к рассмотрению односторонних пределов функции в точке x0, при которых переменная x «движется» к x0 слева (левосторонний предел) или справа (правосторонний предел). Нам потребуется понятие полуокрестности.

Пусть  > 0. Интервал (a, x0) называется левой полуокрестностью точки x0, интервал (x0 – , x0) – левой -полуокрестностью точки x0. Интервалы (x0, b), (x0, x0 + ) называются, соответственно, правой полуокрестностью и правой -полуокрестностью точки x0 (см. рис. 1.8, 1.9).


Пусть f(x0) определена в левой полуокрестности точки x0.

Число b называется левосторонним пределом функции f(x) в точке x0 (обозначение: f(x) = b), если для любого  > 0 найдется  > 0, такое, что для всех значений x, принадлежащих левой -полуокрестности (x0 – , x0), выполняется неравенство:
|f(x) – b| < .

Символическиf(x) = b означает: >0 > 0 x(x0 –  < x < x0  | f(x) – b | < ) (см. рис. 1.8).

Аналогично, число b называется правосторонним пределом функции f(x) в точке x0 (обозначение: f(x) = b), если для любого  > 0 найдется  > 0, такое, что для всех значений x, принадлежащих правой -полуокрестности (x0, x0 + ), выполняется неравенство: | f(x) – b | <  (см. рис. 1.9).

Символическиf(x) = b означает: >0 >0 x(x0 < x < x0 +   |f(x) – b| < ).

Пример 3. Функция f(x) задана равенством (рис. 1.10):

f(x) =  .

Найти f(x) и f(x).

Решение. Покажем, что f(x) = 1, а f(x) = 3.

Рассмотрим значения x < 1, тогда f(x) = 2x – 1 и | f(x) – 1| = |2x – 1 – 1| = 2|x – 1|. Зафиксируем малое   > 0. Подсчитаем: | f(x) – 1| <   2 |x – 1| <   |x – 1| < . Так как x < 1, то
f(x) – 1| < , если 1 –  < x < 1, следовательно,  = . Итак, если 1 –  < x < 1, то
| f(x) – 1| < , т.е.  f(x) = 1.

Рассмотрим значения x > 1, тогда f(x) = 4 – x. Зафиксируем  > 0,

| f(x) – 3| = |2 – x – 3| = |1 – x|. Отсюда | f(x) – 1| <   |1 – x| < , т.е. | f(x) – 1 | <  для 
x  (1, 1 + ). Значит,  f(x) = 3.

Очевидно, если f(x) = b, то f(x) = b и f(x) = b.

Верно и обратное, если f(x) = f(x) = b, то f(x) = b.

Если же правосторонний предел функции в точке x0 не равен левостороннему пределу функции в точке x0, то f(x) = b не существует. Так, в примере 3 функция f(x) не имеет предела в точке x0.

Интегрирование правильных дробей методом разложения на простейшие дроби

Случай 1. Знаменатель правильной дроби имеет только действительные различные корни, то есть разлагается на линейные множители вида '' ''.

Пример 18. Вычислить интеграл .

Подынтегральная функция разлагается на сумму трех простейших дробей ,
где А, В, С – неопределенные коэффициенты. Найдем А, В, С.

. Пусть , тогда

. Пусть х=2, тогда   или .

Пусть х=-1, тогда   или .

Итак, . Имеем:

=

=

Случай 2. Знаменатель правильной дроби имеет только действительные корни, причем некоторые из них кратные, то есть знаменатель разлагается на линейные множители вида '' '', некоторые из них повторяются.

Пример 19. Вычислить интеграл

Подынтегральная функция разлагается на сумму трех простейших дробей, множителю   соответствует сумма двух дробей:


Линолеум. Цены указаны на бытовой линолеум за погонный метр.
Решение типовых задач по математике