Пределы функции на бесконечности Первый замечательный предел Непрерывность функции в точке Основные правила дифференцирования Производные и дифференциалы высших порядков Предел функции

Курс высшей математики решение задач

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Вероятность события. Относительная частота события. Полная группа событий. Статистическое и классическое определение вероятности. Сумма событий. Теорема о вероятности суммы несовместных событий. Теорема вероятности суммы двух совместных событий. 55. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Теорема о дифференцировании сложной функции (1-я теорема – доказать, 2-я – без док.)

Теорема1:

Пусть задана z=f(x,y) определена на D и  , t(α,β)

Для любого t0(α,β) должен соответствовать | x(t0),y (t0 ) D.

Пусть выполняются два следующие условия:

1) функция z=f(x,y) имеет частные непрерывные производные в D дz/дx; дz/дy

2) функции x=x(t), y=y(t) имеют непрерывные производные  dx/dt ; dy/dt на множестве (α,β), тогда существует производая сложной функции dz/dt и находятся по следующей формуле

Док-во:

Рассмотрим функцию z=f(x,y)=f(x(t),y(t))

из 1)  z - дифференцируема. По определению

(*); ; ;

Выберем Δx и Δy специальным образом зависящие от Δt:

Δx=x(t0+ Δt)-x(t0);Δy= y(t0+ Δt)-y(t0)

в силу непрерывности функции x(t) и y(t)  

 =0  поделив (*) на Δt≠0 получим 

; z′t=z′xx′t+ z′yy′t

Теорема2(более общий случай)

Пусть z=f(x,y), определена в области D.  определена областью G причем выполняется, если (U,V)G,то x(U,t),y(U,t) D

Пусть выполняются условия:

для z=f(x,y) существуют непрерывные частные производные

для существуют частные производные, тогда существуют производные сложной функции

Если функция будет иметь больше переменных, то увеличится число слагаемых.


27. Теорема об инвариантности формы первого дифференциала (доказать для случая z=U(x,y)).

Пусть z=f(x,y), где , удовлетворяет условию теоремы (Пусть задана z=f(x,y) определена на D и  , t(α,β))

Для любого t0(α,β) должен соответствовать | x(t0),y (t0 ) D.

Пусть выполняются два следующие условия:

1) функция z=f(x,y) имеет частные непрерывные производные в D дz/дx; дz/дy

2) функции x=x(t), y=y(t) имеют непрерывные производные  dx/dt ; dy/dt на множестве (α,β), тогда существуют производные сложной функции dz/dt и находятся по следующей формуле dz/dt=дt/дx∙dx/dt+дz/дy∙dy/dt)

  тогда

Форма 1-го дифференциала функции 2-х (и более) переменных не зависит от того являются ли х и у независимыми переменными или являются функциями других независимых переменных.

Док-во:

При интегрировании по частям к множителю '' '' следует относить множители, которые упрощаются при дифференцировании.

Так, в интегралах вида

, где   многочлен, за '' '' следует взять '' '', оставшееся выражение за '' '' (см. пример 17).

В интегралах вида

  за '' '' следует взять выражение '' '', оставшуюся функцию взять за '' ''

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называют функцию вида , где   – многочлены.

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена ниже степени многочлена , в противном случае дробь   – неправильная.

Например, дроби    – правильные, а дроби  – неправильные.


Решение типовых задач по математике