Расчет трехфазной цепи по схеме звезда http://ela-used.ru/
Производная и дифференциал функции двух переменных вычисление площади плоской фигуры Понятие частной производной ФНП. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка Знакопеременные ряды.

Курс высшей математики решение задач

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1. Определители второго и третьего порядков и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам какого-либо ряда. Понятие об определителях n-го порядка. 2. Решение систем линейных уравнений. Формулы Крамера. Метод Гаусса. 3. Векторы. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Длина вектора. Угол между векторами. Расстояние между двумя точками. Проекция вектора на ось. Координаты векторов. Скалярное произведение векторов.

Функциональные ряды. Основные понятия: область и точка сходимости, равномерная сходимость. Теорема Вейерштрасса (док.).

Функциональным называется ряд, члены которого есть непрерывные функции от x u1(x)+u2(x)+u3(x)+…+un(x)+…=un (x).

Совокупность значений аргумента, при которых функ-й ряд сходится, называется областью сходимости ряда.

Функциональный ряд un(x) называется равномерно сходящимся в некоторой области x, если для каждого сколь угодно малого числа >0 найдётся такое целое положительное число N(), что при n>N выполняется неравенство=<  для всех x из области X.

При этом сумма S(x) равномерно сходящегося функционального ряда есть непрерывная функция.

Достаточным признаком равномерности сходимости является

Признак Вейерштрасса.

Если члены функционального ряда U1(x)+U2(x)+…+Un(x)+… по абсолютной величине не превышают в некоторой области соответствующих членов сходящегося знакоположительного ряда a1+ a2+…+an+…, (an>0) т.е.

 |U1(x)|a1, |U2(x)|a2, |U3(x)|a3, … |Un(x)|an, …

То функциональный ряд в области сходиться абсолютно и равномерно (правильно).

Знакоположительный числовой ряд  называется мажорирующим рядом или мажорантой для данного функционального ряда.

Т. Вейерштрасса. Если существует такая числовая последовательность {an}, что =0, аn(1), (2) для всех n=1,2… и всех х, то последовательность {} равномерно на E сходится к функции .

Доказательство. В силу условия (1) для любого существует такой номер , что an< для всех . Но тогда в силу условия (2) для всех и всех х, а это и означает равномерную сходимость последовательности {} к функции   на множестве Е.


57. Свойство равномерно сходящихся функциональных рядов (без док.)

1) Сумма правильно сходящегося ряда есть функция непрерывная в области сходимости.

Свойства почленного дифференцирования и интегрирования правильно сходящихся рядов.

2) Если ряд сходится равномерно к некоторой непрерывной функции S(x), и ряд из производных так же равномерно сходится, то его сумма S*(x) равна производной от суммы исходного ряда S*(x) = =()'= S'(x)

3) Если ряд сходится равномерно к некоторой непрерывной функции S(x), то ряд полученый из данного путем почленного интерирования  равномерно сходится и имеет сумму S**(x), равную интегралу от суммы исходного ряда

S**(x)= ==


58.Степенные ряды. Теорема Абеля (док.) (×)

 

Функциональные ряды вида  называются степенным рядом по степеням(z-z0), где a1 a2... an  R -коэффициенты степенного ряда , называются степенными рядами.

При z0=0 получим  .Степенной ряд при z=0 всегда сходится, если x не равен 0 то ряд может как сходиться так и расходиться. 

Поскольку замена (z-z0)=t может свести к виду то мы будем рассматривать ряд такого вида.

Т. Абеля. Если степенной ряд (1) сходится в точке z1≠0, то он сходится и при том абсолютно в точке z, у которого , если степенной ряд расходится в т. z2≠0, то он расходится в т z, .

Доказательство.

По условию - то по необходимому признаку сходимости ряда , т.к. сх-ся числ. послед. ограничена то существует M>0 |  а n=0,1,2… Если , то  и следовательно , являясь геометрической прогрессией со знаменателем <1, сходится. Поэтому по признаку сравнения сходится и ряд , а это означает абсолютную сходимость ряда (1) при .

Пусть числовой ряд расходится, => для любого z | . Предположим противное, те  сходится. По доказательству в 1 части теоремы из сходимости ч.р. => абсолютная сходимость ,для любого , а значит этот ряд должен сходиться абсолютно, что противоречит условию => он расходится.

Свойство инвариантности формул интегрирования

Всякая формула интегрирования (см. таблицу) сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции, то есть если   где то где   любая дифференцируемая функция.

Так, например, если , то   где   функция от

Пример 5.

При интегрировании положим   а также используем равенство   где   постоянная.

Пример 6.

При интегрировании положим , а также используем равенство   где   и   постоянные.


Приложения определенного интеграла