Кинетическая и потенциальная энергии. Волновые процессы Методы учета инструментальных погрешностей Измерение метода инерции Изучение движения маятника Максвела Изучение стоячих волн в натянутой струне

Физические основы механики Лабораторные работы

В физике реальное взаимодействие тел может быть рассмотрено на простейшей модели - центрального удара двух шаров. Удар называется центральным, если шары до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры. Существуют два предельных вида удара: абсолютно упругий и неупругий удары. Эти взаимодействия шаров принципиально отличаются друг от друга

Гармонический осциллятор. Примеры гармонических осцилляторов.

Тела, которые при движении совершают гармонические колебания, называют гармоническими осциляторами. Рассмотрим ряд примеров гармонических осциляторов.

Пример1. Пружинный маятник – это тело массой m, способное совершать колебания под действием силы упругости невесомой (mпружины<<mтела) пружины (рис.4.2).

Подпись:  
Рис.4.3. Физический маятник.

Трением в системе пренебрегаем. При смещении тела на расстояние х от положения равновесия О на него действует сила упругости пружины, направленная к положению равновесия: , где k - коэффициент упругости (жесткости) пружины. По второму закону Ньютона . Отсюда  и, если обозначить , тогда получим  дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Его решения имеют вид  либо . Таким образом, колебания пружинного маятника - гармонические с циклической частотой  и периодом .

Пример 2. Физический маятник - это твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг подвижной горизонтальной оси, не совпадающей с его центром тяжести С (рис. 4. 3). Ось проходит через точку О. Если маятник отклонить от положения равновесия на малый угол a и отпустить, он будет совершать колебания, следуя основному уравнению динамики вращательного движения твердого тела , где J - момент инерции маятника относительно оси, М ‑ момент силы, возвращающей физический маятник в положение равновесия. Он создается силой тяжести , ее момент равен  (l=ОС). В результате получаем  .      Это дифференциальное уравнение колебаний для произвольных углов отклонения. При малых углах, когда ,  или, принимая , получим дифференциальное уравнение колебания физического маятника . Его решения имеют вид  или. Таким образом, при малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой  и периодом .

Пример3. Математический маятник - это материальная точка с массой m (тяжелый шарик малых размеров), подвешенная на невесомой (по сравнению с m шарика), упругой, нерастяжимой нити длинною l. Если вывести шарик из положения равновесия, отклонив его от вертикали на небольшой угол a, а затем отпустить, он будет совершать колебания. Если рассматривать данную систему как физический маятник с моментом инерции материальной точки J = ml2, то из формул для физического маятника получим выражения для циклической частоты и периода колебаний математического маятника

.

Затухающие колебания.

 В рассмотренных примерах гармонических колебаний единственной силой, действующей на материальную точку (тело), была квазиупругая сила F и не учитывались силы сопротивления, которые присутствуют в любой реальной системе. Поэтому рассмотренные колебания можно назвать идеальными незатухающими гармоническими колебаниями.

 Наличие в реальной колебательной системе силы сопротивления среды приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не пополнять за счет работы внешних сил, колебания будут затухать. Затухающими называются колебания с уменьшающейся во времени амплитудой.

  Рассмотрим свободные затухающие колебания. При небольших скоростях сила сопротивления FC пропорциональна скорости v и обратно пропорциональна ей по направлению , где r - коэффициент сопротивления среды. Используя второй  закон Ньютона, получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний . Обозначим ,. Тогда дифференциальное уравнение приобретает вид:

Подпись:   
Рис.4.4. Зависимость смеще¬ния и амплитуды затухаю¬щих колебаний от времени.

  .

Это дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Здесь w0 - собственная частота колебаний системы, т.е. частота свободных колебаний при r=0, b - коэффициент затухания определяет скорость убывания амплитуды. Решениями этого уравнения при условии b<w0 являются

  либо .

График последней функции представлен на рис.4.4. Верхняя пунктирная линия дает график функции , А0 - амплитуда в начальный момент времени. Амплитуда во времени убывает по экспоненциальному закону, b - коэффициент затухания по величине обратен времени релаксации t, т.е. времени за которое амплитуда уменьшается в e раз, так как

 , bt = 1, . Частота и период затухающих колебаний ,; при очень малом сопротивлении среды (b2<<w02) период колебаний практически равен . С ростом b период колебаний увеличивается и при b>w0  решение дифференциального уравнения показывает, что колебания не совершаются, а происходит монотонное движение системы к положению равновесия. Такое движение называют апериодическим.

Для характеристики скорости затухания колебаний служат еще два параметра : декремент затухания D и логарифмический декремент l. Декремент затухания показывает во сколько раз уменьшается амплитуда колебаний за время одного периода Т.

 

Подпись:  
Рис.4.5. Вид резонансных кривых.
Натуральный логарифм от декремента затухания есть логарифмический декремент l

. Так как, то , где N - число колебаний за время.

 

 

 

 

Вынужденные колебания. Механический резонанс.

Если на колеблющуюся систему действует периодически изменяющаяся сила, то колебания называются вынужденными. Пусть вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону
.

Дифференциальное уравнение, получаемое из второго закона Ньютона, с учетом этой силы следует записать в виде

 или . Решением дифференциального уравнения вынужденных колебаний является , причем w - частота вынужденных колебаний совпадает с частотой колебания вынуждающей силы, а амплитуда вынужденных колебаний - А является сложной функцией от w и b.

 .

Зависимость амплитуды от w и b представлены на рис.4.5 (b1>b2>b3). При w=0 все кривые сходятся в одной точке оси ординат . При различных значениях b амплитудные кривые имеют максимумы, которые соответствуют частотам w1,w2,...,w0. Явление возрастания, а затем убывания амплитуды колебаний при изменении частоты названо механическим резонансом, а частоты w1, w2, ... , w0, которым соответствуют максимумы амплитуды, называют резонансными частотами wрез. Чтобы определить их значения, необходимо найти максимум для функции амплитуды или, что то же самое, минимум подкоренного выражения (). Продифференцировав подкоренное выражение по w и приравняв нулю, получим условие, определяющее wрез  .

Это уравнение имеет три решения: w=0 и ± . Физический смысл имеет лишь положительное значение. Следовательно, резонансная частота wрез=, при b®0, wрез®w0. Если в формулу для амплитуды А подставить выражение wрез=, получим резонансное значение Арез .

 Другая особенность вынужденных колебаний - это сдвиг фазы, а именно вынужденные колебания отстают по фазе на j от вынуждающей силы на величину j, ждя которой .

Величина сдвига фаз зависит от частоты w и коэффициента затухания b. Вынужденные колебания и вынуждающая сила имеют одинаковую фазу лишь при b=0, во всех реальных случаях b¹0 и j¹0. При w=w0 для любых значений b сдвиг фазы равен, т.е. вынуждающая сила опережает по фазе вынужденные колебания на . При w>>w0 j®p, т.е. фазы силы и колебаний противоположны.

Явление механического резонанса необходимо учитывать при конструировании различного рода сооружений : машин, кораблей, самолетов, мостов и др. Если, например, собственная частота w0 вибраций корпуса корабля или крыльев самолета совпадает с частотой колебаний, возбуждаемых вращательным движением гребного винта или пропеллера возникнет механический резонанс, который может привести к разрушению. Однако явление резонанса имеет и положительное применение, например, в радиотехнике - для выделения нужного сигнала и множества других, отличающихся по частоте, в акустике - для усиления звучания музыкального инструмента и т.д.

 Для решения многих технических задач большой интерес представляют автоколебания. Это незатухающие колебания в реальной колебательной системе, осуществляемые под влиянием внешнего переменного воздействия, частота которого равна собственной частоте системы. В автоколебательной системе существует источник энергии, от которого периодически подается в систему энергия, компенсирующая ее убыль. Примером такой системы являются часы, где раскручивающая пружина или опускающиеся гирьки является источником энергии, а анкерное усройство  подталкивает маятник часов в такт к его колебаниями.

При абсолютно неупругом ударе кинетическая энергия движущихся шаров полностью или частично превращается в их внутреннюю энергию (тепло, энергию остаточных деформаций). После удара шары движутся с одинаковой скоростью, как единое целое, либо покоятся. При абсолютно неупругом ударе выполняется только закон сохранения импульса, закон же сохранения механической энергии не соблюдается.
>Кинематические характеристики вращательного движения