Воздействие радиации на человека http://rstud.ru/
Математика решение задач Итегралы вычисление площади и обьема

Математика примеры решения задач контрольной работы

Геометрические свойства интеграла ФНП

Возможное геометрическое представление интегральной суммы  функции  на , а затем и интеграла  определяют геометрические свойства интеграла и перечень некоторых возможных задач, решаемых с помощью интеграла.

1. Площадь плоской фигуры

а) Пусть на плоскости  задана криволинейная трапеция
(см. ранее в п. 2.2). Тогда ее площадь можно вычислить с помощью определенного интеграла , здесь  на .

Если фигура есть комбинация криволинейных трапеций, то ее площадь находится через соответствующие операции над площадями составляющих криволинейных трапеций. В частности, при нахождении площади фигуры , заданной неравенствами  (см. рисунок), можно применить формулу

.

Дифференциал функции

Для понимания формулы достаточно провести параллельный перенос оси  на  с тем, чтобы кривые  и  были расположены выше оси.
И тогда площадь заданной фигуры находится через площадь криволинейной трапеции, т.е.

.

Иногда область  удобнее проектировать на ось  и задать неравенствами  (см. рисунок). В этом случае площадь фигуры  считается по формуле .

б) Площадь плоской фигуры  можно вычислить с помощью двойного интеграла:  (при  на  ), т.е. .

2. Длина дуги считается с помощью криволинейного интеграла

.

Если дуга задана параметрически  , то , поэтому  переходит в  для дифференцируемых на  функций , ,  и поэтому в указанном случае

.

Заметим, что если дуга плоская, например  то  ( – параметр) и длина дуги считается по
формуле

.

Площадь части криволинейной поверхности  считается с помощью поверхностного интеграла

Некоторые механические приложения интеграла ФНП Масса фигуры (отрезка, дуги, плоской фигуры, части криволинейной поверхности, тела)

Вычисление интеграла  рассмотрим подробно в зависимости от  и .

Для подынтегральной функции  определенный интеграл с переменным верхним пределом определяет
первообразную на .


Итегралы вычисление площади и обьема