Инженерная графика http://arthic.ru/
Математика решение задач Итегралы вычисление площади и обьема

Математика примеры решения задач контрольной работы

Геометрические свойства интеграла ФНП

Площадь части криволинейной поверхности  считается с помощью поверхностного интеграла

(при  на ).

Например, если поверхность  задается уравнением ,  – проекция поверхности  на плоскость , то площадь поверхности  есть

.

Объем тела

Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференциал функции y = f(x) зависит от Dх и является главной частью приращения Dх.

а) Объем тела "с известной площадью сечения" считается с
помощью определенного интеграла.

б) Пусть в пространстве  задано тело, ограниченное плоскостью ,а именно плоской областью , цилиндрической поверхностью с образующей параллельной оси  и направляющей – границей  области  и поверхностью , заданной уравнением ;  – проекция поверхности  на плоскость ;  на .

Такое тело обычно называют цилиндрическим телом; объем его вычисляется с помощью двойного интеграла

.

Это согласуется с геометрическим представлением интегральной суммы   и ее пределом при  .

в) В случае, когда тело можно представить комбинированием цилиндрических тел, объем его считается через объемы этих цилиндрических тел. Для тела, ограниченного достаточно простыми
поверхностями, объем можно вычислять с помощью тройного интеграла

(  на ).

 Примеры: . Найти общее решение уравнения .

Решение: характеристическое уравнение k2 - 4 k + 4 = 0, (k - 2)2 = 0, его корни k1,2 = 2,

уоо = С1е2x + С2 хе2x . Степень многочлена m = 3, число  является корнем характеристического уравнения кратности r = 2, поэтому yчн(x) ищем в виде

yчн(x) = x2 e2x[Ax3 + Bx2 + Dx + E] = e2x (Ax5 + Bx4 + Dx3 + Ex2). Тогда

подстановка этих выражений в уравнение даст

После приведения подобных членов и сокращения на e2x сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

x3

x2

x

1

20A = 1;

 12B =0;

6D = -2;

2E = 0;

A = 1/20;

B = 0;

D = - 1/3;

E = 0.

 5. .

k2 - 5 k + 6 = 0, k1 = 2, k2 = 3, yoo = C1e 2x + C3e 3x. m = 3, число  является корнем характеристического уравнения кратности r = 1, поэтому yчн(x) ищем в виде 

yчн(x) = x1 e2x (Ax3 + Bx2 + Dx + E) = e2x (Ax4 + Bx3 + Dx2 + Ex). Дальнейшие выкладки проводятся также, как и в предыдущих примерах.


Итегралы вычисление площади и обьема