Построить графики функций с помощью производной 1 порядка.
Математика решение задач Итегралы вычисление площади и обьема

Математика примеры решения задач контрольной работы

Вычисление интеграла ФНП.

Типовые задачи

Вычисление площади плоской фигуры

а) Площадь фигуры в декартовых координатах

ПРИМЕР 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и . Схема независимых испытаний Формула Бернулли Определение. Если при проведении нескольких испытаний вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других событий, то эти испытания называются независимыми относительно события А. Будем рассматривать только такие независимые испытания, в которых событие А имеет одинаковую вероятность. Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью р. Тогда вероятность противоположного события — ненаступления события А — также постоянна в каждом испытании и равна q = 1 - p. В теории вероятностей представляет особый интерес случай, когда в п испытаниях событие А осуществится k раз и не осуществится п - k раз.

Решение. В п. 2.5 приведена формула для вычисления площади подобной фигуры. Проектируем фигуру (см. рисунок) на ось  и вычисляем

.

Итак, площадь фигуры .

ПРИМЕР 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом .

Решение. Используем симметрию фигуры и вычислим площадь  части фигуры (в I квадранте):   Получаем

.

Итак, площадь эллипса .

Теория линейных уравнений.

Общие понятия.

 Опр. Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение, в которое неизвестная функция y(x) и её производные входят линейно, т.е. в первой степени:

. (19)

  Если старший коэффициент q0 (x) отличен от нуля на интервале (a, b), т.е.  для , то, умножая (19) на , приводим уравнение к виду со старшим коэффициентом, равным 1:

  (20)

; дальше мы будем рассматривать уравнение (20).

 Если правая часть уравнения тождественно равна нулю на рассматриваемом интервале (f(x)=0 при ), то уравнение называется однородным. Таким образом, однородное уравнение - это уравнение вида

 . (21)

Задача Коши для уравнений (20) и (21) ставится также, как и для общего уравнения n-го порядка (17) : требуется найти решение уравнения (20) или (21), удовлетворяющее начальным условиям

  (22)

где y0, y1, y2, …, yn-1 - заданные числа. Для уравнения (17) теорема существования и единственности решения задачи Коши требовала непрерывности функции   и её производных ; если привести (20) к виду (17): ,

то . Таким образом, условия теоремы Коши приводят к необходимости непрерывности функций f(x) и pi(x), i = 1, 2, …, n. Далее, вывод теоремы Коши для уравнения (17) заключался в том, что найдётся окрестность точки x0, в которой существует однозначно определённое решение задачи Коши; для линейных уравнений (20) и (21) вывод более глобален: единственное решение существует на всём интервале (a, b), на котором выполняются условия теоремы:


Итегралы вычисление площади и обьема