Машиностроительное черчение http://pargraf.ru/
Математика решение задач Итегралы вычисление площади и обьема

Математика примеры решения задач типового расчета

Вычисление интеграла ФНП.

ПРИМЕР 8. Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом .

Решение. Проекция поверхности эллипсоида на ось  есть отрезок . Для всякого  сечение есть эллипс, приведенное уравнение которого имеет вид .

По формуле площади фигуры, ограниченной эллипсом (см. пример 6), имеем

, . Поэтому значение объема тела, ограниченного эллипсоидом с полуосями ,
вычисляется по формуле объема тела с известной площадью "поперечного" сечения: Двойной интеграл от непрерывной функции всегда можно представить как произведение площади области интегрирования S на значение функции f( ) в некоторой точке, т.к. для любого цилиндрического бруса с искривленным верхом можно построить брус постоянной высоты, но с таким же основанием  S и объемом V , т.е. f( ) = V/S. 

.

Вычисление криволинейного интеграла I рода
(по длине дуги)   проводим с предварительным заданием дуги  в ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ

   (см. п. 2.5)

и записью дифференциального элемента длины дуги в виде

.

Правило: криволинейный интеграл  сводится к определенному интегралу с использованием уравнений дуги.

Система функций  также линейно независима, если числа ki (i = 1, 2, …, n) попарно различны, однако прямое доказательство этого факта достаточно громоздко.

Как показывают приведённые примеры, в некоторых случаях линейная зависимость или независимость функций доказывается просто, в других случаях это доказательство сложнее. Поэтому необходим простой универсальный инструмент, дающий ответ на вопрос о линейной зависимости функций. Такой инструмент - определитель Вронского.

Определителем Вронского (вронскианом) системы n - 1 раз дифференцируемых функций y1(x), y2(x), …, yn(x) называется определитель

 . (26)


Итегралы вычисление площади и обьема