Математика решение задач Итегралы вычисление площади и обьема

Математика примеры решения задач типового расчета

Типовые задачи

Вычисление криволинейных интегралов I рода

ПРИМЕР 1. Вычислить интеграл , если  , , .

Решение. Сводим криволинейный интеграл к определенному с
использованием уравнения дуги ( – параметр, ).

.

ПРИМЕР 2. Вычислить , где дуга  есть отрезок , , . Интегрирование функций нескольких переменных. Двойной интеграл и его свойства.

Решение. Зададим  в параметрической форме, для этого найдем уравнение прямой  , откуда  . Поэтому имеем

.

Определитель Вронского. Линейная зависимость и независимость системы функций.

 Опр. 14.5.3.1. Система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) называется линейно зависимой на интервале (a, b), если существует набор постоянных коэффициентов , не равных нулю одновременно, таких, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю на (a, b):  для

Если равенство  для  возможно только при , система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) называется линейно независимой на интервале (a, b).

Другими словами, функции y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависимы на интервале (a, b), если существует равная нулю на (a, b) их нетривиальная линейная комбинация. Функции y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно независимы на интервале (a, b), если только тривиальная их линейная комбинация тождественно равна нулю на (a, b).

Примеры: 1. Функции 1, x, x2, x3 линейно независимы на любом интервале (a, b). Их линейная комбинация - многочлен степени  - не может иметь на (a, b) больше трёх корней, поэтому равенство  для  возможно только при .

Пример 1 легко обобщается на систему функций 1, x, x2, x3 , …, xn. Их линейная комбинация - многочлен степени   - не может иметь на (a, b) больше n корней.

3. Функции  линейно независимы на любом интервале (a, b), если . Действительно, если, например, , то равенство  имеет место в единственной точке .


Итегралы вычисление площади и обьема