Электростатика Электромагнетизм Оптика световые кванты
Математика решение задач Итегралы вычисление площади и обьема

Математика примеры решения задач типового расчета

Типовые задачи

Вычисление криволинейных интегралов I рода

Длина дуги

а)  Длина дуги в декартовых координатах

ПРИМЕР 3. Вычислить длину одного витка винтовой линии , , .

Решение. Винтовая линия – траектория точки, "поднимающейся" по круговому цилиндру со скоростью . Длину одного витка  найдем, если вычислим

. Преобразования плоских областей. Замена переменных в двойных интегралах связана с переходом от прямоугольной к криволинейной системам координат.

б) Длина плоской дуги в полярных координатах

Пусть ,  – дуга на плоскости  ().
Выведем формулу для вычисления ее длины.

Поскольку  параметр , то

. Поэтому

.

ПРИМЕР 4. Вычислить длину кардиоиды

.

Решение. Используя симметрию кривой, получим

.

Теорема о вронскиане линейно зависимой системы функций. Если система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависима на интервале (a, b), то вронскиан этой системы тождественно равен нулю на этом интервале.

Док-во. Если функции y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависимы на интервале (a, b), то найдутся числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие что

   для . (27)

Продифференцируем по x равенство (27) n - 1 раз и составим систему уравнений

Будем рассматривать эту систему как однородную линейную систему алгебраических уравнений относительно . Определитель этой системы - определитель Вронского (26). В каждой точке  эта система имеет нетривиальное решение , следовательно, в каждой точке   её определитель равен нулю. Итак, W(x) = 0 при , т.е.  на (a, b).

Механические приложения Вычислить массу дуги   

Вычислить момент инерции относительно плоскости  дуги  , если плотность распределения массы в каждой точке дуги пропорциональна произведению

Вычислить повторный интеграл , восстановив область . Вычислить повторный интеграл .


Итегралы вычисление площади и обьема