Математика решение задач Итегралы вычисление площади и обьема

Математика примеры решения задач типового расчета

Типовые задачи

Вычисление криволинейных интегралов I рода

Механические приложения

ПРИМЕР 5. Вычислить массу дуги   
при   – линейной плотности распределения массы по
дуге .

Решение.

. Поверхности второго порядка. Общий вид уравнения поверхности в R3 : F(x,y,z) = 0 .

ПРИМЕР 6. Найти центр тяжести одной арки циклоиды

считая дугу однородной, т.е.  на дуге.

Решение. Циклоида – траектория неподвижной точки окружности, "катящейся" без скольжения по прямой (оси );
в начальный момент времени точка находится в начале координат (см. рисунок).
Поскольку дуга однородная, можно воспользоваться симметрией дуги, тогда

.

Длина арки циклоиды

.

Вычисляем статистический момент дуги относительно оси  :

.

Итак, центр тяжести одной арки циклоиды находится в точке .

Замечаем, что действительно центр тяжести дуги не обязательно расположен на самой дуге.

 Пример: найти общее решение уравнения .

Мы начали решать эту задачу в разделе 14.5.8. Понижение порядка линейного однородного уравнения. Была найдена фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения и его общее решение yоо (x) = C1 x + C2 ln x. В соответствии с методом вариации, ищем решение неоднородного уравнения с приведённым к единице коэффициентом при старшей производной  в виде y(x) = C1(x) x + C2(x) ln x. Система (33) для производных коэффициентов  и будет такой:

  Ответ: общее решение уравнения y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) = (- x ln x + C10)x +

 (в окончательном ответе индекс "0" у постоянных опущен).

 В общем случае неоднородного уравнения n-го порядка ,

если известна фундаментальная система решений y1(x), y2(x), …, yn(x) соответствующего однородного уравнения, решение неоднородного уравнения ищется в виде

y(x) = C1(x) y1(x) + C2(x) y2(x) + …+ Cn(x) yn(x). Тогда

Потребуем, чтобы сумма слагаемых, содержащих производные функций Ci(x), т.е. чтобы сумма, стоящая в квадратной скобке, была равна нулю:

,

тогда

Опять положим , и т.д. Для n-ой производной получим

Подставляя выражения для производных в неоднородное уравнение и учитывая, что функции yi(x) удовлетворяют соответствующему однородному уравнению, получим .

Вместе с принятыми ранее соотношениями для производных  получим систему уравнений

Определитель этой системы, как и при n = 2, совпадает с вронскианом фундаментальной системы решений, следовательно, система имеет единственное решение . Находя это решение и интегрируя, найдём Ci(x) (i = 1, 2, …, n), а значит, и общее решение неоднородного уравнения (29) y(x) = C1(x) y1(x) + C2(x) y2(x) + …+ Cn(x) yn(x).


реновация гостиниц Все пресс-релизы - бесплатная публикация.
Фото ролап на подставке.
Итегралы вычисление площади и обьема