Информатика. Примеры решения задач контрольной работы
Математика решение задач Итегралы вычисление площади и обьема

Математика примеры решения задач курсового расчета

Предел, непрерывность ФНП

ПРИМЕР. Иногда удобно использовать переход от переменных  и  к полярным координатам. В частности, условие  (одновременно и независимо друг от друга) преобразуется в условие  при всяком  (независимо от ; сразу для всех ).

Показать, что .

Решение. Перейдем к полярным координатам ,  и тогда  

(независимо от ).

ПРИМЕР 4. Найти повторные пределы функции  при . Существует ли предел этой функции по совокупности переменных?

Решение. Повторные пределы ,  существуют и равны, но предел функции по совокупности переменных не существует, так как при приближении к , например по прямым , предел функции имеет различные значения .

ПРИМЕР 5. Показать, что для  при  существует предел по совокупности переменных, но не существуют повторные пределы.

Решение. Для  и  имеем

.

При  и  . Повторный предел

  не существует,

т.к. не существует предел функции  при .

Аналогично: другой повторный предел не существует.

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Теорема о наложении решений. Мы установили, что для того, чтобы решить линейное однородное уравнение, необходимо найти его фундаментальную систему решений. В этом разделе покажем, что решение неоднородного уравнения сводится к решению однородного, если удаётся найти частное решение этого неоднородного уравнения. Справедлива

Терема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными на интервале (a, b) коэффициентами и правой частью

  (20)

равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения 

 (21)

и частного решения неоднородного уравнения (20):

 yон(x) = yоо(x) + yчн(x) = (C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x)) + yчн(x).

 Док-во. Мы должны доказать, что если известно частное решение yчн(x) неоднородного уравнения (20), то любое его другое частное решение  может быть получено по формуле  при некотором наборе постоянных C1, C2, …, Cn. Так как и yчн(x), и  - решения неоднородного уравнения (20), то Ln(yчн(x))=f(x) и , следовательно, по линейности оператора Ln(y), . Функция  удовлетворяет однородному уравнению, поэтому содержится в формуле C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x) при некотором наборе постоянных C1, C2, …, Cn: . Таким образом, , что и требовалось доказать.

 Из предыдущей теоремы следует, что для нахождения общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения необходимо знать его частное решение. Здесь мы сформулируем и докажем теорему, которая позволяет свести нахождение частного решения неоднородного уравнения с правой частью вида  ( - постоянные) к, возможно, более простой задаче нахождению частных решений этого уравнения с правыми частями вида f(x) = f1(x), f(x)=f2(x):


Итегралы вычисление площади и обьема